น² + 2นล + ล² หรือ กำลังสองสมบูรณ์
เป็นหนึ่งในวิธีการแยกตัวประกอบจากหลายๆ วิธี ซึ่งจะนำไปสู่เรื่องการคำนวณขั้นสูง อย่างเช่น Calculus ที่เป็นเนื้อหาระดับ ม.ปลาย และ มหา’ลัยต่อไป
หากเรามีพื้นฐานที่ดี ก็จะทำให้เรามั่นใจมากขึ้นเมื่อได้ทำแบบฝึกหัดในการคำนวณขั้นสูงครับ
ดังนั้นน่าจะดีนะ ถ้าเรามาลองใช้เวลาสักนิด ในการทำความเข้าใจเรื่องกำลังสองสมบูรณ์นี้
😆 ช่วงบ่น
⏬ สำหรับคนมีเวลาน้อย อยากเข้าเนื้อหาเลยก็ขอให้ข้ามส่วนนี้ไป
บทความนี้จำเป็นต้องเขียนขึ้นอย่างเร่งด่วน ในช่วงเวลาที่ผมต้องกลับมาอ่านหนังสือเตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์สำหรับเทคโนโลยีสารสนเทศ รหัส 99312 ของ มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช
ผมเริ่มยอมรับตัวเองว่าเป็นคนที่จำไม่เก่งมาได้หลายปีแล้ว และเมื่อเรียนอะไรแต่ละครั้งจะจำสูตรไม่ได้ ไม่ว่าจะจดไว้ท่องจำหรืออะไรก็ตาม ก็มักจำไม่ได้ว่าจดเก็บไว้ที่หน้าไหน
ทีนี้ถ้ามีเวลาเตรียมตัวเนิ่นๆ หลายเดือนหน่อย ผมจะต้องพยายามค้นคว้าวิธีเข้าใจที่มาให้ได้ทุกครั้งไป ว่าสูตรแต่ละอันมันมีที่มาอย่างไร (เคยใช้วิธีนี้กับวิชาคณิตศาสตร์และสถิติสำหรับวิทยาศาสตร์เทคโนโลยี 96102 จนเอาตัวรอดมาได้ โดยที่ไม่เคยเรียนคณิตฯ สาย ม.ปลายมาก่อน)
ครั้งนี้เลยเอามาจดลงใน Blog แล้วกัน ค้นหาในบทความน่าจะง่ายกว่า
เมื่อสองปีเคยสอบคณิตผ่านไปแล้ว ปีนี้กลับมาสอบอีกก็ลืมอีกเช่นกัน… o_O
ที่นี่ไม่ได้มีแค่เรื่องกำลังสองสมบูรณ์นะ แต่มีเรื่องผลต่างกำลังสองอีกด้วย
ทั้งสองเรื่องนี้เป็นสิ่งที่ใช้บ่อยในการแก้โจทย์ปัญหาง่ายๆ ไปจนถึงโจทย์ปัญหายากๆ ของข้อสอบ มสธ. นะ ถ้าพอทำ 2 เรื่องนี้ได้ และฝึกสูตรอื่นๆ เกี่ยวกับการแยกตัวประกอบให้คล่องๆ ก็น่าจะพอมีพื้นฐานไปใช้แก้โจทย์ได้อีกหลายข้อ แต่ก็ขอให้ทุกคนฝึกทำแบบฝึกหัดกันให้มากๆ ด้วยนะครับ ขอให้พวกเราสอบผ่านไปด้วยกัน 🤘
กำลังสองสมบูรณ์ ทำไมต้องท่องว่า (น + ล)² = น² + 2นล + ล² ด้วยวะ ไม่เห็นจะเข้าใจและไม่เคยจำได้จนถึงวันสอบสักครั้ง
สมัย ม.ต้น ในวิชาคณิตศาสตร์ เด็กไทยทุกคนน่าจะเคยท่องกันใช่ไหมครับ
น² + 2นล + ล²
แค่ท่องตามแล้วทำโจทย์ให้ถูกตามคำท่อง เราก็ได้คะแนนแล้ว แต่ถ้าคนที่จำสูตรนี้ไม่ได้ก็คงทำคะแนนไม่ได้เลยใช่ไหมครับ
ทีนี้เมื่อท่องจำไม่ค่อยได้ งั้นเราลองมาทำความเข้าใจมันสักหน่อย เผื่อมันจะเป็นไม้ตายสุดท้ายที่จะช่วยชีวิตให้เราทำข้อสอบได้มากขึ้น
— — — — — — — — —
คำว่ากำลังสองสมบูรณ์ (Square Absolute) มีนิยามที่ระบุไว้ในเว็บ https://dekgenius.com/ ว่ามันคือ
กำลังสองของจำนวนหรือของพหุนาม เช่น
4 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ของ 2 และมีค่าเท่ากับ 2²หรือเขียนอธิบายในรูปทั่วไปก็คือ
น² + 2นล + ล² เป็นกำลังสองสมบูรณ์ของ น + ล และมีค่าเท่ากับ (น + ล)²
อืมมมมม…นะ
อธิบายคล้ายกับอาจารย์ที่สอนสมัยเรียน ม.ต้น เลยแฮะ T^T (แกคงไม่มีเวลามากพอที่จะอธิบายให้เด็กๆ อย่างพวกเราเข้าใจถึงที่มานี่นา หรือต่อให้อธิบาย เราก็อาจยังไม่สามารถเข้าใจได้อยู่ดี)
พอไปค้นหาต่อใน google ได้เข้าๆ ออกๆ หลายๆ ลิงก์ ก็ได้เจอกระทู้นึงใน pantip ซึ่งมีความคิดเห็นหนึ่งที่อธิบายแบบแสดงวิธีทำที่ช่วยให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นมาก (แม้ว่าจะยังไม่ใช่นิยามที่อธิบายอย่างชัดเจนก็ตาม)
💬 ความคิดเห็นที่ 4
เริ่มต้นจากการคูณ
วิธีที่ 1(น + ล)(น-ล) = น(น-ล) + ล(น-ล) = น² — นล + นล -ล²
จะเห็นว่าพจน์หักล้างกัน ใกล้คูณใกล้ บวก ไกลคูณไกล เป็น 0
= น² — ล²(น+ล)(น+ล) = น(น+ล) + ล(น+ล) = น² + นล + นล + ล²
จะเห็นพจน์กลางเสริมกันเป็น 2 เท่า ใกล้คูณใกล้ บวก ไกลคูณไกล เสริมกันเป็น 2 เท่า= น² + 2 นล + ล²วิธีที่ 2
ไปหาอ่านเอาเองนะครับ พิมพ์ไม่ไหว มือถือพิมพ์ยาก
หน้า คูณ หน้า ได้ตัวหน้า
หลัง คูณ หลัง ได้ตัวหลัง
ใกล้ คูณ ใกล้ + ไกล คูณไกล ได้ ตรงกลางการแยกตัวประกอบ มันก็ใช้ วิธีที่ 2 ย้อนกลับ
เช่นx² + 5 x + 4 = (x + 4)(x+1)
💡 จาก Quote ข้างต้น ยังอ่านสัญลักษณ์แล้วไม่เข้าใจ ผมจึงหาข้อมูลต่อแล้ว ขยายความเข้าใจเองได้ว่า
เมื่อเรานำกำลังสองสมบูรณ์มาเทียบกับสมบัติการคูณของจำนวนจริงว่าด้วยเรื่องการแจกแจง https://sites.google.com/site/phichamonsite/smbati-khxng-canwncring
6. สมบัติการแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca
จะได้
(น + ล)² = (น + ล)(น + ล)>>>>>>>> = น(น) + น(ล) + ล(น) + ล(ล)>>>>>>>> = น² + 2(น(ล)) + ล²จากบรรทัดที่ 2 จะเห็นว่า
น(น)= น²และล(ล) = ล²ตามสมบัติการยกกำลัง
น(ล)และล(น)นั้นมีค่าเท่ากันตามสมบัติการสลับที่ของการคูณ
จึงทำให้น(ล) + ล(น) = 2(น(ล))
👍 จึงสรุปที่มาของการท่องสูตรกำลังสองสมบูรณ์ได้ว่า
กำลังสองสมบูรณ์ของ
น + ลหรือ(น + ล)²มีค่าเท่ากับน² + 2นล + ล²นั่นเอง
ภาพปลากรอบการแทนค่า น และ ล ด้วยตัวเลข 3 และ 5 เพื่อพิสูจน์ที่มาของสูตร
ผลต่างกำลังสอง ทำไมต้องท่องสูตรว่า น² - ล² =(น + ล)(น - ล) ด้วยอะ จำไม่ได้อีกละ😂
คำว่าผลต่างกำลังสอง ผมพยายาม google ค้นหานิยามความหมายของมันหลายต่อหลายเว็บด้วยกัน แต่ทำยังไงๆ ก็ยังหาไม่เจอ จึงทำได้แค่เอาสูตรมาแจกแจงถึงที่มาของมันเท่านั้น
ผลต่างกำลังสอง มักจะถูกเขียนในรูปทั่วไปว่า (น - ล)²
โดยมันแสดงที่มาได้ดังนี้
(น + ล)(น - ล) = น(น) - น(ล) + ล(น) - ล(ล)>>>>>>>>>>>>>> = น² - ล²จากบรรทัดที่ 1จะเห็นว่า
น(น)= น²และล(ล)= ล²ตามสมบัติการยกกำลัง
ในขณะที่น(ล)และล(น)นั้นมีค่าเท่ากันตามสมบัติการสลับที่ของการคูณ
จึงทำให้- น(ล) + ล(น)หรือล(น) - น(ล)มีค่าเท่ากับ0นั่นเองดังนั้น…
น(น) + 0 - ล(ล) = น² - ล²
จบละครับ สำหรับการร่ายยาวเรื่องกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างกำลังสองสำหรับคนจำไม่เก่ง
ผมหวังเป็นอย่างยิ่งว่าคนที่จำไม่เก่งแบบผมคงได้ไอเดียในการนำไปแก้ปัญหาเฉพาะหน้าเรื่องการลืมสูตรนี้ระหว่างสอบได้บ้างไม่มากก็น้อยนะครับ
หากมีข้อสงสัยก็ทักคอมเมนต์ทิ้งไว้ใต้บทความได้เลย
เมื่อเห็นแล้วจะเข้ามาช่วยตอบคำถามครับ
Thanks for reading until the final line.
If you’re confused or have any questions, don’t hesitate to leave the comments.
Feel free to connect with me and stay updated on the latest insights and discussions.
👉 https://linkedin.com/in/fResult 👈
